pregunta 233 de examen de 2012
Publicado: 19 Ene 2014, 14:16
hola: he hecho la integral de la pregunta 233 del examen de 2012 y me pasa lo siguiente. si digo que log|x| es el logaritmo en base 10 de |x| porque yo he dado toda la vida que si no hay base se entiende que es base 10, me sale -0,86 que no sale en las respuestas pero si supongo que es el logaritmo neperiano de |x| si que me sale -2 ¿es que hay que interpretar que es logaritmo neperiano?
\(\int_{-1}^{+1}log|x|dx = \int_{-1}^{0}log|x|dx + \int_{0}^{+1}log|x|dx = \int_{-1}^{0}log(-x)dx + \int_{0}^{+1}log(+x)dx\)
Ahora se hace el cambio de variable -x = t, -dx = dt en la primera integral teniendo cuidado de cambiar tambien los limites de integracion
\(\int_{1}^{0}-log(t)dt + \int_{0}^{+1}log(+x|dx\)
tenemos la siguiente integral inmediata en las tablas:
\(\int log_b(x|dx = x (log_b(x) - \frac{1}{lnb})\)
Por tanto sustituyendo esto en lo que teniamos:
\([t (log_b(t) - \frac{1}{lnb}]|_1^0 + [x (log_b(x) - \frac{1}{lnb}]|_o^1 = 0 - 1(log_b(1) - \frac{1}{lnb}) + 1(log_b(1) - \frac{1}{lnb}) - 0 = 2(log_b(1) - \frac{1}{lnb})\)
Aqui
\([0 (log_b(0) - \frac{1}{lnb}] = 0 log_b(0) - 0 = 0 (-\infty)\) pero como \(lim_{x-> 0} xlog_b{x} = 0\) por eso he puesto 0.
El resultado de la integral es \(2(log_b(1) - \frac{1}{lnb})\). Si b =10 sale -0.68 y si b= e sale -2.
\(\int_{-1}^{+1}log|x|dx = \int_{-1}^{0}log|x|dx + \int_{0}^{+1}log|x|dx = \int_{-1}^{0}log(-x)dx + \int_{0}^{+1}log(+x)dx\)
Ahora se hace el cambio de variable -x = t, -dx = dt en la primera integral teniendo cuidado de cambiar tambien los limites de integracion
\(\int_{1}^{0}-log(t)dt + \int_{0}^{+1}log(+x|dx\)
tenemos la siguiente integral inmediata en las tablas:
\(\int log_b(x|dx = x (log_b(x) - \frac{1}{lnb})\)
Por tanto sustituyendo esto en lo que teniamos:
\([t (log_b(t) - \frac{1}{lnb}]|_1^0 + [x (log_b(x) - \frac{1}{lnb}]|_o^1 = 0 - 1(log_b(1) - \frac{1}{lnb}) + 1(log_b(1) - \frac{1}{lnb}) - 0 = 2(log_b(1) - \frac{1}{lnb})\)
Aqui
\([0 (log_b(0) - \frac{1}{lnb}] = 0 log_b(0) - 0 = 0 (-\infty)\) pero como \(lim_{x-> 0} xlog_b{x} = 0\) por eso he puesto 0.
El resultado de la integral es \(2(log_b(1) - \frac{1}{lnb})\). Si b =10 sale -0.68 y si b= e sale -2.