Acalon.e²

El potencial de una esfera hueca es:
* \(V(r) = \frac{3}{2}GM \frac{b^2 - a^2}{a^3 - b^3}\) para r < b
* \(V(r) = \frac{GM}{a^3 - b^3} (\frac{r^2}{2} + \frac{b^3}{r} - \frac{3}{2}a^2)\) para b < r < a
* \(V(r) = \frac{-GM}{r}\) para r > a

Luego para mi es perfectamente anulable. En todo caso sería cierta la 4 para el interior de la esfera, pero es que incluso entonces deberían decir "inversamente proporcional a \((a^3 - b^3)\)"

Pues parece clara. Yo iré el lunes a la biblio a buscar pruebas de todo esto

Extracto del Marion (uno de mis favoritos para mecánica):

\(V(r >a) = - \frac{GM}{r}\)
Este resultado nos dice que el potencial en un punto exterior a una distribución de materia esféricamente simétrica (hueca o maciza) es independiente del tamaño de la misma. Por tanto, a efectos del cálculo del potencial (o de la fuerza), la totalidad de la masa puede considerarse concentrada en el centro.

De hecho es de lo que trata la pregunta 1 del examen.

Muy bien chicos. Si alguien no tiene el Marion a mano la referencia que ha dicho Charlee8 está en googlebooks:
http://books.google.com/books?id=MpblAX ... &q&f=false

Pero aquí la cuestión es poner la masa en función del volumen y hacer la integral (considerando la densidad constante), y sale la 3, no la 4.

Yo esta la impugnaré por lo siguiente:

No es posible dar la relación entre potencial gravitatorio y radios porque no sabemos la relación entre densidad y radio. Si supusieramos que la densidad es constante entonces en efecto la 4 es correcta.

Pero a nadie se le ocurriría plantear que el potencial de un planeta a distancias d>R depende de R^3 puesto que sus densidades son diferentes entre ellos e incluso en su interior.

Con la información del enunciado sólo se puede establecer la ley de gravitación universal:

Potencial (d) = G·M/d

El quid de la cuestión es la dependencia de M con los radios del donut de radios a y b. La masa es

M = integral {rho(r)·dr} en el intervalo [a,b].

pero como no conocemos el campo escalar densidad rho(r), la respuesta no se puede dar. Simplemente podemos decir que el potencial es directamente proporcional a la masa M e inversamente proporcional a la distancia d donde nos situamos.

Si suponemos que la densidad es constante rho (r) independiente de r, entonces la 4 está bien. Pero no tenemos por qué suponer nada. En problemas reales de astronomía esto nunca será cierto por ejemplo.

Lo cierto es que usando la ecuación que nos da el Marion para este caso: phi=-GM/r, sólo hay que poner la masa M en función de sus radios interior y exterior: M=rho*Volumen, siendo el Volumen de una esfera hueca y homogénea: V=4*(pi/3)(a3-b3). Y ya está. Pero estoy con vosotros en lo de que tendrían que haber especificado que la esfera era homogénea, como hace el Marion.... En fin, lo de siempre, vaya preguntitas...